Épreuve de Bernoulli

Définition

Soit `p`  un réel de l'intervalle `[0 ; 1]` .
Une épreuve de Bernoulli de paramètre `p`  est une expérience aléatoire comportant deux issues, que l'on appelle en général succès ( \(\text S\) ) et échec ( \(\overline{\text S}\) ), de probabilités respectives `p`  et `1-p` .

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{Issue} & \text S & \overline{\text S} \\ \hline \text{Probabilité} & p & 1-p \\ \hline \end{array}\)

Exemples

1. On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de 1 à 6. On appelle succès l'issue : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5. » Cette expérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli de paramètre `\frac{1}{3}` .

2. On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes et  on appelle succès l'issue : « Obtenir une dame.  »  Cette expérience aléatoire est  une épreuve de Bernoulli de paramètre `4/52`  soit `1/13` .

Définition

Soit  `X` une variable aléatoire définie sur un univers `\Omega` .
On dit que `X` suit une loi de Bernoulli de paramètre `p\in[0;1]`  si  `X`  est à valeurs dans `\{0;1\}`  avec `P(X=1)=p`  et `P(X=0)=1-p` .
On note :  \(X \sim \mathcal{B}(p)\) .

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline k & 1 & 0 \\ \hline P(X=k) & p & 1-p \\ \hline \end{array}\)

Remarque

Une loi de Bernoulli correspond donc à une épreuve de Bernoulli pour laquelle on a associé au succès la valeur 1 et à l 'échec la valeur 0.